DEFINICIONES

Autovalores

Los autovalores son un concepto fundamental en álgebra lineal y tienen importantes aplicaciones en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería. En general, estos se conocen como números escalares asociados a un vector no nulo en un espacio vectorial. Específicamente, si tenemos una transformación lineal T que actúa sobre un espacio vectorial V, un autovalor λ de T es un número escalar tal que existe un vector no nulo v en V que cumple:

T(v) = λ * v

     Es decir, el vector v se transforma en un múltiplo de sí mismo cuando se aplica la transformación lineal T. El vector v se conoce como el autovector asociado al autovalor λ. Los autovalores dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. También pueden conocerse como las direcciones “preservadas” de una matriz. Teniendo en cuenta que, cuando multiplicamos un escalar por un vector, estamos conservando la dirección del vector. El autovalor es el nombre que le damos al número que está alterando la norma del vector.

     Los autovalores tienen diversas aplicaciones importantes que van desde el análisis de sistemas dinámicos y estructuras, mecánica cuántica, procesamiento de señales y modelos económicos. Su importancia radica en las distintas propiedades de estabilidad y comportamiento a largo plazo de frecuencias,  mediante la utilización de matrices y sistemas lineales en general. 

Autovectores

 Los autovectores son vectores especiales asociados a una matriz. Estos se generan cuando multiplicamos una matriz por su autovector correspondiente, el resultado es simplemente una escala del autovector original. Teóricamente, los autovectores no cambian de dirección, solo se escalan. Los autovectores son útiles para entender cómo una matriz afecta la dirección de los vectores en un espacio vectorial.

    Es una herramienta funcional en diversas disciplinas, como la física, la ingeniería y la informática. Además, también influye en análisis de datos, procesamiento de imágenes, estadística y la economía. En resumen, los autovectores son herramientas matemáticas poderosas que nos permiten comprender y analizar datos, imágenes y sistemas lineales.

    En general, los autovectores facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, especialmente con matrices grandes y complejas.

Diagonalización

Sea A ∈ R^n×n, se dice que A es diagonalizable ⇔A es semejante a una matriz diagonal ⇔∃P∈R^n×n inversible tal que P–1AP=D diagonal. Es un caso especial de semejanza. Una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal.

Condiciones que tiene que cumplir una matriz para ser diagonalizable:

 A∈R^n×n es diagonalizable si y sólo si  A tiene n autovectores linealmente independiente.  Sean v1, v2, … ,vn autovectores LI de la matriz  A ∈ R^n×n. Podemos construir una matriz. P cuyas columnas sean dichos autovectores: P = (v1    v2    vn), donde P es inversible porque sus columnas son LI y por lo tanto tiene rango n (det (P) ≠0). Puede demostrarse que:  P^–1AP=D, donde D es una matriz diagonal cuyos elementos son los respectivos autovalores: